Jeffrey Cross
Jeffrey Cross

Math Monday: Hole New Polyhedra

Jos rakennetaan useita moniarvoisia malleja ja lasket niiden pisteet, reunat ja kasvot, monet huomaat mielenkiintoisen suhteen, varsinkin jos tarkastellaan näiden määrien summia ja eroja.

polyhedron kärkipisteet reunat kasvoja
tetraedri 4 6 4
trigonaalinen bipyramidi 5 9 6
Kolmisivuinen prisma 6 9 5
kuutio 8 12 6
oktaedri 6 12 8
bilunabirotunda 14 26 14

Näetkö numeerisen kuvion edellä? Jos et löydä sitä, älä ole huolissasi - olet matemaattisten paikkojen yritys, kuten Euclid ja Descartes (keksijä, jota kutsumme "karteesisiksi" koordinaateiksi). Toisaalta, jos huomaat, että jokaiselle näistä polyhedraista, pisteiden lukumäärä miinus reunojen lukumäärä ja kasvojen lukumäärä on aina kaksi (kaava on usein kirjoitettu V – E + F = 2) , sitten onnittelut! Olet sopinut yhteen kaikkien aikojen tuottavimpien matemaatikkojen Leonhard Eulerin kanssa.

Itse asiassa mitä enemmän polyhedraa teet, sitä enemmän saatat alkaa ajatella, että tämä yhtälö on jokaiselle mahdolliselle monikerrokselle - eli kunnes saat jotain tällaista, jota haluan kutsua "Octahex Ringiksi".

Se kestää hieman laskemista, mutta jos olet varovainen, voit selvittää, että tällä polyhedrillä on 36 huippua (jokainen huippu on osa kuutta vihreää yksikköä, joista kukin on oktaedri, jossa on kuusi huippua) ja 108 reunaa (kuusi kahdentoista kahdesta kuudesta vihreästä yksiköstä ja kuusi muuta, jotka eivät kuulu mihinkään vihreään yksikköön kuhunkin kuuteen keltaiseen yksikköön) ja 72 kasvot (kuusi kummastakin kahdestatoista yksiköstä, keltainen ja vihreä). Ja tekemällä aritmeettinen, 36 - 108 + 72 = 0, ei 2. Mitä tapahtuu?

Selvää, että Eulerin kaava V-E + F on voimakkaampi kuin ensi silmäyksellä. Octahex-renkaassa on selvästi jotain vähän epätavallista: se on muotoinen kuin donitsi; Siinä on "reikä", joka kulkee sen keskellä. Ja juuri tämä yksinkertainen kaava voi havaita ja jopa laskea: minkä tahansa polyhedron osalta V-E + F kertoo reikien lukumäärän. Jos tämä määrä tulee 2: een, reikiä ei ole; jos se tulee 0: een, on yksi reikä; -2 tarkoittaa kahta reikää; -4 tarkoittaa kolmea reikää; ja niin edelleen, pienenee 2: lla jokaisen lisäreiän kanssa. Miten tällainen perusmuoto, joka perustuu muodon perusosiin, voi kertoa monimutkaisesta yleisestä ominaisuudesta, jolla on reikiä tai ei, on kaunis tarina, joka on valitettavasti liian pitkä kertomaan täällä, mikä yhdistää monia eri matematiikan aloja.

Mitä tämä liittyy tekemiseen? ParaGons-järjestelmän ansiosta, jota mainittiin muutamassa viimeisessä virassa, monissa luokkahuoneissa opiskelijat ovat saaneet mahdollisuuden ja menestyneet suuresti, kun se rakensi oktahex-rengasta ja koki mielenkiintoisen ja epätavallisen rakenteen. Math Mondays haluaa kiittää kaikkia mukana olevia opettajia, kouluja ja opiskelijoita, joista monet ovat alla kuvassa.

Tässä on Jessica Quinnin opiskelijat Mayfield Senior Schoolissa Pasadenassa, jotka alkavat koota oktahex-renkaan vihreät kulmayksiköt.

Ja tässä ovat Mayra Olidenin opiskelijat tohtori Olga Mohanin lukiossa, jotka alkavat yhdistää joitakin yksiköitä yhteen.

Tässä on Cinthia Vegan 11. luokan opiskelijat Alhambran lukiossa, joka aikoo viimeistellä renkaansa.

Osake

Jättänyt Kommenttia