Jeffrey Cross
Jeffrey Cross

Math Monday: Linkages, Osa 3: Neljä palkkia, kaksi tai kolme paikkaa

Glen Whitney Matematiikan museolle

Meillä on keskellä neljä palkkiyhteyttä heidän vauhdillaan. Katso tämän sarjan johdannosta MoMath Linkage Kit, johdanto ja yleiset ohjeet.

Viime kerralla näimme monimutkaisuuden, joka tuntuu melko yksinkertaiselta mekanismilta: neljä palkkia, jotka on kytketty niiden päähän silmukkaan. Mitä voi tehdä tämän monimutkaisuuden kanssa? Jos suunnittelet mekanismia, saatat haluta yhden mekanismin osan käymään eri paikoissa vuorollaan, koska mekanismi suorittaa sen toiminnon. Matemaattinen kysymys tulee siihen, miten määrität linkin, joka vierailee halutuissa paikoissa. Katsokaamme siis:

Kaksi paikkaa Näyttää siltä, ​​että jos me vain määritämme kaksi sijaintia palkille, on aina yksinkertainen pyöriminen tasosta, joka kartoittaa yhden sijainnin toiseen, kuten tämä kaavio (ja Geogebra-laskentataulukko) näyttää. (Tekninen huomautus: saattaa tapahtua, että se on todella puhdas käännös, joka siirtää palkkia yhdestä paikasta toiseen. Tätä voidaan kuitenkin pitää pyörimisenä noin pisteestä "äärettömän kaukana", joten se ei ole oikeastaan ​​niin paljon poikkeus.)

Kääntämällä sen nelikaistaiselle liitoksellemme voimme yhdistää tämän kiertopisteen liikkuvan palkin kahteen päähän ja neljäs, kiinteä kiinnityspalkki kutistuu vain kiinteään kohtaan. Sovellamme tätä tulosta seuraavassa reseptissä olevan suuren kirjaimen "T" pysty- ja poikkipalkkiin:

”4-bar” T-liitäntä Ainesosat: 27-bar (A), 34-bar (B) ja 12 bar (C); kaksi kaksikerroksista kiinnitystappia ja yksi kolmikerroksinen sidontatappi; ja yksi välike.

Ohjeet: Linkki A - B - C ja takaisin A. Huomaa, että tarvitset A-C-liitoksen välikappaleen, jotta molemmat palkit ovat tasomaisia. (Välikappale on samalla korkeudella kuin palkki B, jossa on yksi A tai C yläpuolella ja toinen alla.)

Linkkisi pitäisi näyttää tältä:

Käyttö: korjaa A-C-risteys siten, että se voi vapaasti kiertää. Aseta kytkentä siten, että 34-palkki on täysin vaakasuorassa. Kierrä sitä 90 astetta oikealle. 34 barin yläpää on nyt täsmälleen sen entisen sijainnin keskipisteessä, ts. 34: n kaksi paikkaa muodostavat kirjaimen "T". Pylväiden pituudet laskettiin käyttäen edellä mainittua rakennetta tämän kirjaimen T järjestämiseksi. Tässä ovat linkin kaksi asentoa, jotka on sijoitettu GIMP: n päälle:

OK, jos käytämme vain kolmea neljästä palkista saavuttaaksemme kaksi paikkaa, meillä on selvästi valmiudet säästää. Voimmeko saavuttaa mitä tahansa kolmea mielivaltaista paikkaa yhdelle palkista, jota kutsumme "kelluvaksi baariksi"? Voisimmeko esimerkiksi tehdä kelluvan palkin peräkkäin ottamasta kirjaimen A kolmen iskun asemaa? Itse asiassa voimme. Tällöin avain on tunnistaa, että yhdellä kiinteällä palkilla jokaisen toisen kiinteän palkkiin linkitetyn palkin vapaiden päätepisteiden on kuljettava ympyrässä (viimeksi mainitussa ”siamilaisessa kompassissa”). Siksi meidän on löydettävä yksi ympyrä, joka kulkee kelluvan palkin yhden päätepisteen kolmen vastaavan aseman läpi ja toisen ympyrän, joka kulkee kelluvan baarin toisen päätepisteen kolmen sijainnin läpi. Koska kolmen ympyrän kautta on ympyrä (tai teknisesti, joskus suora viiva), voimme aina tehdä tämän, kuten seuraava kaavio ja Geogebra-laskentataulukko:

Ja tässä on kaavio, jossa segmentit liikkuvat jäljittelemään "A": n kolmea iskua (huomaa, että pisteet B ja E ovat nyt päällekkäin):

Tämä johtaa seuraavaan reseptiimme:

4 bar: n liitos

Ainesosat: 16-baari (kutsumme sitä Z: ksi tällä kertaa, jotta vältetään sekaannus kaikkien muiden kirjaimien kanssa), kaksi 40-palkkia (Y ja W), 60-palkki, jossa on 30-reikäinen (X), neljä linkeria ja kynä.

Ohjeet: Linkki Z: stä Y: hen X0: een; linkki X60 - W; ja linkitä W Z: n vapaaseen päähän ylittäen Y: n. Valinnaisesti aseta kynä X30: n kautta. Linkkisi pitäisi näyttää tältä:

Käytä: Kiinnitä Z vaakasuoraan ja käännä Y siirtyäksesi X peräkkäin kolmeen edellä esitettyyn asentoon. Tässä ne ovat päällekkäin:

Muuten, jos laitat kynän kelluvan baarin keskimmäiseen reikään ja jäljität sen kokonaan, valmistat tämän ihanan kardioidin:

Ensi kerralla yritämme työntää neljän tankon raja-arvot.

Lisää:

  • Yhteydet, Johdanto
  • Yhteydet, osa 2: neljä baaria, yksi vapaus
  • Katso kaikki Math Monday-sarakkeet

Osake

Jättänyt Kommenttia